Päivän Kymysys

OpenAI ilmoittaa ratkaisseensa yhden matematiikan seitsemästä Millennium-palkinto-ongelmasta. Yhtiön mukaan noin 10 000 samanaikaisesti työskentelevää tekoälyagenttia osoitti 88 tunnissa, että Navier–Stokesin yhtälöiden ratkaisut voivat luhistua äärellisessä ajassa – työn takana oli sisäinen malli, jota yhtiö kuvailee huomattavasti kyvykkäämmäksi kuin hiljattain julkaistua GPT-6 Astraa.

Yhtiö esittelee sekä analyyttisen todistuksen että formalisoinnin Lean-todistuksentarkistuskielellä. Sen selvityksen mukaan tulos vahvistaa vaihtoehdot C – ja myös D – Clay Mathematics Instituten virallisessa ongelmanasettelussa: sileiden ratkaisujen luhistumisen sekä koko avaruudessa että mallissa, jossa avaruus toistuu jaksollisesti joka suuntaan. Molemmat vaihtoehdot ovat päteviä reittejä ongelman ratkaisemiseen. Sen osoittaminen, että yhtälöt voivat epäonnistua, vastaa kysymykseen yhtä lailla kuin sen osoittaminen, etteivät ne koskaan tee niin.

Navier–Stokesin yhtälöt ovat Newtonin toinen laki kirjoitettuna nesteille ja kaasuille, käsitellen virtausta jatkuvana väliaineena sen sijaan, että seurattaisiin jokaista molekyyliä. Niitä käytetään lentokoneiden siivissä, sääennusteissa ja veren virtauksessa. Kysymys, joka on pysynyt avoimena 90 vuotta, on se, voiko tämä kuvaus luhistua: voivatko nopeudet kasvaa rajatta äärellisessä ajassa, vaikka viskositeetti pyrkii jatkuvasti tasoittamaan liikettettä?

Vastaus OpenAI:n todistuksessa on kyllä. Rakenne on pyörre, joka kiertelee sisäänpäin samalla kun se venyy kuin spaghetti. Sen keskusalue kutistuu ja kiihtyy, mutta nesteen energia säilyy äärellisenä. Nesteeseen vaikuttavaa ulkoista voimaa kuvataan sileäksi, mikä tarkoittaa voimaa, joka vaihtelee tasaisesti ja säännöllisesti ilman hyppyjä tai äärettömiä piikkejä – mitään ääretöntä voimaa ei ole lisätty käsin. Yhtiön mukaan kiihtyvyyden, painegradientin, liikemäärän ja viskositeetin termien on tultava erittäin suuriksi, mutta niiden on kumottava toisensa erittäin tarkasti.

Avaa julkaisu X:ssä

Ei turbulenssin mysteeri – vaan mallin raja

Ratkaistavana on matemaattinen kysymys yhtälöiden pätevyydestä, ei turbulenssi fysikaalisena ilmiönä. Jos singulariteetti voi syntyä, se tarkoittaa, että tämä tietty matemaattinen kuvaus lakkaa pätemästä kyseisessä pisteessä. Todistus koskee siis virtaavien nesteiden ja kaasujen matemaattista mallia – se ei selitä, miten ratkaistaan käytännön turbulenssiongelmia, jotka liittyvät siipiin, sääennusteisiin tai verenkiertoon.

Reitti sinne kulki yksinkertaisemman ongelman kautta. Yhtiö sanoo kouluttaneensa uutta sisäistä mallia elokuun 28. päivästä lähtien ja että työ Millennium-ongelmien parissa alkoi 1. syyskuuta sen jälkeen, kun liikkui huhuja kahden niistä tulleen ratkaistuksi. Erilliset agenttiryhmät saivat erilaisia versioita ongelmanasettelusta: A ja B, jotka tuottaisivat todistuksen, sekä C ja D, jotka tuottaisivat kumouksen. Eulerin yhtälöt murtuivat ensin: rajatapaus ilman viskositeettia, jossa hieman alle 100 agenttia työskenteli noin 50 tuntia ja kumosi säännöllisyyden versiossa, jossa nesteeseen ei vaikuta lainkaan ulkoista voimaa. Resurssit suunnattiin tämän jälkeen Navier–Stokesiin.

Ratkaisu syntyi lauantaina 5. syyskuuta, 88 tuntia aloituksen jälkeen. Yhtiön mukaan formalisointi ja varmistus Leanilla kesti vielä 17 tuntia GPT-6 Astran avulla. Pelkästään Navier–Stokesia varten agentit lähettivät 2,7 miljoonaa viestiä ja kuluttivat noin 130 miljardia lähtötokenia – mittari sille, kuinka paljon tekstiä järjestelmä tuotti työn aikana.

Ihmiset ruorissa

Yhtiön oma selonteko ei väitä, että malli olisi ratkaissut ongelman yksinään. Tutkijat valitsivat ongelman muunnelmat, syöttivät onnistuneelle ryhmälle Euler-tuloksen, vaihtoivat uudempaan malliversioon työn aikana ja käyttivät Codex-koodaustyökalua yhdistämään hyödyllisimmät oivallukset ryhmien välillä. Ratkaisun löytänyttä ryhmää ohjattiin tällä tavalla.

Samaan aikaan NYU:n matematiikan professori Tristan Buckmaster ja Anthropicin työntekijä Levent Alpöge olivat edistäneet omaa tutkimusohjelmaansa, joka perustui Diego Córdoban ja Luis Martínez-Zoroan työhön, ja saavuttaneet luhistumisen sileällä ulkoisella pakotteella huokoisissa aineissa, Boussinesq-yhtälöissä ja kolmiulotteisessa Eulerissa. Julkaistussa lausunnossaan Buckmaster kuvailee, kuinka keskusteluissa OpenAI:n kanssa 6. syyskuuta hänelle kerrottiin, että sisäinen järjestelmä oli ratkaissut Navier–Stokesin ulkoisella pakotteella, ja hänelle tarjottiin mahdollisuutta kirjoittaa artikkeli tuloksesta itse. Hänen selontekonsa mukaan OpenAI-tutkija Sebastien Bubeck totesi kahdesti, että Alpöge tulisi poistaa tekijöistä. Buckmaster kieltäytyi ja korosti, ettei hän ollut nähnyt todistusta eikä syyttänyt ketään mistään.

OpenAI sanoo tarjonneensa samanaikaista julkaisua ja pääsyä kehotteisiinsa (prompts), tunnustaa kaksikon etuoikeuden ulkoisella pakotteella varustettuun Euleriin ja sanoo, etteivät sen tutkijat tai agentit olleet nähneet heidän työtään ennen sen julkista julkaisua. Se ilmoittaa, ettei mitään tiettyjä käyttäjätietoja ole käytetty. Samalla yhtiö kirjoittaa, ettei se voi sulkea pois sitä, että anonymisoitu data kaksikon käyttämistä tuotteista olisi auttanut mallien parantamisessa. Lehdistötilaisuudessa Bubeck kielsi yhtiön käyttäneen heidän työtään.

Lean-tiedostot ovat julkisesti saatavilla GitHubissa, ja OpenAI sanoo, että todistusketju on siten konevarmistettu. Se ei ole sama asia kuin matematiikkayhteisön hyväksyntä. Clay Mathematics Instituten säännöt vaativat julkaisua hyväksytyssä tieteellisessä julkaisussa, vähintään kahden vuoden odotusajan ja yleisen hyväksynnän maailmanlaajuisessa matematiikkayhteisössä – eikä instituutti ota vastaan suoria hakemuksia. OpenAI ilmoittaa, ettei se aio lunastaa miljoonan dollarin palkintoa.